As fórmulas de adição de cos(a+b) e sin(a+b) baseiam-se em um mecanismo algébrico único: a distributividade aplicada às exponenciais complexas. Partimos da identidade de Euler, e todo o resto decorre da adição ou subtração de duas igualdades. Dominar esse mecanismo torna desnecessário o aprendizado decorado das dezenas de variantes que os manuais empilham.
Derivação por exponencial complexa das fórmulas cos a cos b e sin a sin b
O caminho mais direto para reencontrar as fórmulas de adição passa pela escrita exponencial. Sabendo que ei(a+b) = eia . eib, desenvolvemos o produto dos dois fatores:
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(cos a + i sin a)(cos b + i sin b) = cos a cos b – sin a sin b + i(sin a cos b + cos a sin b).
A parte real fornece diretamente cos(a+b) = cos a cos b – sin a sin b. A parte imaginária fornece sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b. Nenhuma figura, nenhum raciocínio geométrico auxiliar é necessário.
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Para quem se prepara para o vestibular ou uma prova de primeiro ano, reter esse único procedimento permite reencontrar em algumas linhas as fórmulas de cos a cos b e sin a sin b sem depender de um formulário.
Fórmulas de subtração cos(a-b) e sin(a-b): substituição de sinal
A paridade do cosseno (cos(-x) = cos x) e a imparidade do seno (sin(-x) = -sin x) são suficientes para deduzir as fórmulas subtrativas. Substituímos b por -b nas expressões anteriores.
cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b. O sinal entre os dois termos se inverte em relação a cos(a+b). Simetricamente, sin(a-b) = sin a cos b – sin b cos a.
Essa mudança de sinal é a única diferença. Um bom reflexo consiste em lembrar que o cosseno “gosta” dos produtos cruzados de mesma natureza (cos.cos e sin.sin), enquanto o seno mistura as duas funções (sin.cos e cos.sin).
Transformação produto-soma: isolar cos a cos b e sin a sin b
As fórmulas de adição também servem em sentido inverso. Ao somar cos(a+b) e cos(a-b), eliminamos o termo em seno:
cos(a+b) + cos(a-b) = 2 cos a cos b.
Daí obtemos cos a cos b = 1/2 [cos(a-b) + cos(a+b)]. Essa relação de linearização é onipresente em cálculo integral e em processamento de sinal.
Subtraindo desta vez cos(a+b) de cos(a-b), isolamos o produto dos senos:
sin a sin b = 1/2 [cos(a-b) – cos(a+b)].
Para o produto cruzado, procedemos da mesma forma com sin(a+b) e sin(a-b):
sin a cos b = 1/2 [sin(a+b) + sin(a-b)].
Essas três identidades formam o trio das fórmulas produto-soma. Sua utilidade ultrapassa amplamente o programa do ensino médio: elas intervêm sempre que um produto trigonométrico deve ser integrado ou simplificado em série de Fourier.
Por que a linearização é mais útil que a duplicação
As fórmulas de duplicação (cos 2a, sin 2a) são apenas um caso particular onde b = a. Recomendamos não memorizá-las separadamente. Colocar b = a em cos(a+b) dá imediatamente cos(2a) = cos²a – sin²a, e então as variantes 2cos²a – 1 e 1 – 2sin²a via a identidade fundamental cos²a + sin²a = 1.
A linearização, por outro lado, não se encontra tão naturalmente se você só conhece a duplicação. Portanto, é melhor ancorar as fórmulas de adição e de produto-soma, e tratar a duplicação como um corolário.
Ângulos notáveis e verificação rápida das fórmulas trigonométricas
As provas recentes do vestibular e do exame mobilizam os valores notáveis (0, pi/6, pi/4, pi/3, pi/2) em ligação direta com as fórmulas de adição. Verificar uma fórmula em um par de ângulos conhecidos é o meio mais rápido de detectar um erro de sinal.
Tomemos cos(pi/3 + pi/6). A fórmula dá:
cos(pi/3)cos(pi/6) – sin(pi/3)sin(pi/6) = (1/2)(raiz de 3 / 2) – (raiz de 3 / 2)(1/2) = 0.
O resultado esperado é cos(pi/2) = 0. A coerência é imediata. Se o sinal tivesse sido invertido, teríamos obtido raiz de 3 / 2, o que teria sinalizado o erro.
Aqui estão as verificações mais úteis para cada fórmula:
- cos(a+b) com a = b = pi/4: deve dar cos(pi/2) = 0, ou seja, cos²(pi/4) – sin²(pi/4) = 1/2 – 1/2 = 0.
- sin(a+b) com a = pi/6, b = pi/3: deve dar sin(pi/2) = 1, ou seja, (1/2)(1/2) + (raiz de 3 / 2)(raiz de 3 / 2) = 1/4 + 3/4 = 1.
- sin a sin b com a = b = pi/4: deve dar 1/2, ou seja, 1/2 [cos(0) – cos(pi/2)] = 1/2 [1 – 0] = 1/2.
Testar uma fórmula em ângulos notáveis leva menos de trinta segundos e elimina a maioria dos erros de sinal em exames.
Estratégia de memorização para o vestibular: duas fórmulas, não doze
Afirmamos sem reservas: reter cos(a+b) e sin(a+b) é suficiente para reconstruir todas as outras identidades. A substituição de b por -b dá as fórmulas subtrativas. A soma e a diferença das fórmulas de adição dão os produto-soma. O caso b = a dá a duplicação. O caso b = pi/2 dá as fórmulas de cofunção.
O erro frequente consiste em memorizar cada variante independentemente, o que produz confusões de sinal sob pressão. É melhor automatizar a derivação do que armazenar uma dezena de fórmulas frágeis.
- Fórmula fonte 1: cos(a+b) = cos a cos b – sin a sin b (reter o sinal menos).
- Fórmula fonte 2: sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b (reter o sinal mais e a alternância sin/cos).
- Fórmulas derivadas: obtidas por substituição, adição ou subtração das duas fórmulas fontes.
No intervalo [0, pi] solicitado no programa do primeiro ano, as funções sin e cos assumem valores suficientemente variados para que a verificação por ângulos notáveis permaneça sempre possível. Duas fórmulas memorizadas, um método de derivação dominado: essa é a relação esforço/resultado mais favorável em trigonometria.