Le formule di somma di cos(a+b) e sin(a+b) si basano su un meccanismo algebrico unico: la distributività applicata alle esponenziali complesse. Partiamo dall’identità di Eulero, e tutto il resto ne deriva tramite addizione o sottrazione di due uguaglianze. Padroneggiare questo meccanismo rende superfluo l’apprendimento a memoria delle decine di varianti che i manuali accumulano.
Derivazione tramite esponenziale complessa delle formule cos a cos b e sin a sin b
La via più diretta per ritrovare le formule di somma passa per la scrittura esponenziale. Sapendo che ei(a+b) = eia . eib, sviluppiamo il prodotto dei due fattori:
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(cos a + i sin a)(cos b + i sin b) = cos a cos b – sin a sin b + i(sin a cos b + cos a sin b).
La parte reale fornisce direttamente cos(a+b) = cos a cos b – sin a sin b. La parte immaginaria fornisce sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b. Nessuna figura, nessun ragionamento geometrico ausiliario è necessario.
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Per chi prepara l’esame di maturità o una prova di prima, ricordare questo unico approccio permette di ritrovare in poche righe le formule di cos a cos b e sin a sin b senza dipendere da un formulario.
Formule di sottrazione cos(a-b) e sin(a-b): sostituzione di segno
La parità del coseno (cos(-x) = cos x) e l’imparità del seno (sin(-x) = -sin x) sono sufficienti per dedurre le formule sottrattive. Sostituiamo b con -b nelle espressioni precedenti.
cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b. Il segno tra i due termini si inverte rispetto a cos(a+b). Simmetricamente, sin(a-b) = sin a cos b – sin b cos a.
Questo cambiamento di segno è l’unica differenza. Un buon riflesso consiste nel ricordare che il coseno “ama” i prodotti incrociati della stessa natura (cos.cos e sin.sin), mentre il seno mescola le due funzioni (sin.cos e cos.sin).
Trasformazione prodotto-somma: isolare cos a cos b e sin a sin b
Le formule di somma servono anche in senso inverso. Sommando cos(a+b) e cos(a-b), si elimina il termine in seno:
cos(a+b) + cos(a-b) = 2 cos a cos b.
Ne deduciamo cos a cos b = 1/2 [cos(a-b) + cos(a+b)]. Questa relazione di linearizzazione è onnipresente nel calcolo integrale e nel trattamento del segnale.
Sottraendo questa volta cos(a+b) da cos(a-b), si isola il prodotto dei seni:
sin a sin b = 1/2 [cos(a-b) – cos(a+b)].
Per il prodotto incrociato, procediamo allo stesso modo con sin(a+b) e sin(a-b):
sin a cos b = 1/2 [sin(a+b) + sin(a-b)].
Queste tre identità formano il trio delle formule prodotto-somma. La loro utilità supera di gran lunga il programma di maturità: intervengono ogni volta che un prodotto trigonometrico deve essere integrato o semplificato in serie di Fourier.
Perché la linearizzazione è più utile della duplicazione
Le formule di duplicazione (cos 2a, sin 2a) non sono che un caso particolare in cui b = a. Raccomandiamo di non memorizzarle separatamente. Porre b = a in cos(a+b) dà immediatamente cos(2a) = cos²a – sin²a, poi le varianti 2cos²a – 1 e 1 – 2sin²a tramite l’identità fondamentale cos²a + sin²a = 1.
La linearizzazione, invece, non si ritrova così naturalmente se si conosce solo la duplicazione. È quindi meglio ancorare le formule di somma e di prodotto-somma, e trattare la duplicazione come un corollario.
Angoli notevoli e verifica rapida delle formule trigonometriche
Le prove recenti del bac e del brevetto mobilitano i valori notevoli (0, pi/6, pi/4, pi/3, pi/2) in diretto collegamento con le formule di somma. Verificare una formula su una coppia di angoli noti è il modo più rapido per rilevare un errore di segno.
Prendiamo cos(pi/3 + pi/6). La formula dà:
cos(pi/3)cos(pi/6) – sin(pi/3)sin(pi/6) = (1/2)(radice di 3 / 2) – (radice di 3 / 2)(1/2) = 0.
Il risultato atteso è cos(pi/2) = 0. La coerenza è immediata. Se il segno fosse stato invertito, avremmo ottenuto radice di 3 / 2, il che avrebbe segnalato l’errore.
Ecco le verifiche più utili per ogni formula:
- cos(a+b) con a = b = pi/4: deve dare cos(pi/2) = 0, cioè cos²(pi/4) – sin²(pi/4) = 1/2 – 1/2 = 0.
- sin(a+b) con a = pi/6, b = pi/3: deve dare sin(pi/2) = 1, cioè (1/2)(1/2) + (radice di 3 / 2)(radice di 3 / 2) = 1/4 + 3/4 = 1.
- sin a sin b con a = b = pi/4: deve dare 1/2, cioè 1/2 [cos(0) – cos(pi/2)] = 1/2 [1 – 0] = 1/2.
Testare una formula su angoli notevoli richiede meno di trenta secondi ed elimina la maggior parte degli errori di segno durante l’esame.
Strategia di memorizzazione per il bac: due formule, non dodici
Lo affermiamo senza riserve: ricordare cos(a+b) e sin(a+b) è sufficiente per ricostruire tutte le altre identità. La sostituzione di b con -b dà le formule sottrattive. La somma e la differenza delle formule di somma danno le prodotto-somma. Il caso b = a dà la duplicazione. Il caso b = pi/2 dà le formule di cofunzione.
L’errore frequente consiste nel memorizzare ogni variante indipendentemente, il che produce confusione di segno sotto pressione. È meglio automatizzare la derivazione piuttosto che immagazzinare una decina di formule fragili.
- Formula sorgente 1: cos(a+b) = cos a cos b – sin a sin b (ricordare il segno meno).
- Formula sorgente 2: sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b (ricordare il segno più e l’alternanza sin/cos).
- Formule derivate: ottenute tramite sostituzione, addizione o sottrazione delle due formule sorgenti.
Nel intervallo [0, pi] richiesto dal programma di prima, le funzioni sin e cos assumono valori sufficientemente variati affinché la verifica tramite angoli notevoli sia sempre possibile. Due formule memorizzate, un metodo di derivazione padroneggiato: è il rapporto sforzo/rendimento più favorevole in trigonometria.