Las fórmulas de adición de cos(a+b) y sin(a+b) se basan en un mecanismo algebraico único: la distributividad aplicada a las exponentes complejas. Partimos de la identidad de Euler, y todo lo demás se deriva mediante la adición o sustracción de dos igualdades. Dominar este mecanismo hace innecesario el aprendizaje de memoria de la decena de variantes que los manuales apilan.
Derivación por exponencial compleja de las fórmulas cos a cos b y sin a sin b
El camino más directo para recuperar las fórmulas de adición pasa por la escritura exponencial. Sabiendo que ei(a+b) = eia . eib, desarrollamos el producto de los dos factores:
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(cos a + i sin a)(cos b + i sin b) = cos a cos b – sin a sin b + i(sin a cos b + cos a sin b).
La parte real da directamente cos(a+b) = cos a cos b – sin a sin b. La parte imaginaria proporciona sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b. No se necesita ninguna figura, ningún razonamiento geométrico auxiliar.
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Para quien se prepara para el bachillerato o una prueba de primero, recordar este único procedimiento permite recuperar en unas pocas líneas las fórmulas de cos a cos b y sin a sin b sin depender de un formulario.
Fórmulas de sustracción cos(a-b) y sin(a-b): sustitución de signo
La paridad del coseno (cos(-x) = cos x) y la imparidad del seno (sin(-x) = -sin x) son suficientes para deducir las fórmulas sustitutivas. Sustituimos b por -b en las expresiones anteriores.
cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b. El signo entre los dos términos se invierte con respecto a cos(a+b). Simétricamente, sin(a-b) = sin a cos b – sin b cos a.
Este cambio de signo es la única diferencia. Un buen reflejo consiste en recordar que el coseno “ama” los productos cruzados de la misma naturaleza (cos.cos y sin.sin), mientras que el seno mezcla las dos funciones (sin.cos y cos.sin).
Transformación producto-suma: aislar cos a cos b y sin a sin b
Las fórmulas de adición también sirven en sentido inverso. Al sumar cos(a+b) y cos(a-b), eliminamos el término en seno:
cos(a+b) + cos(a-b) = 2 cos a cos b.
De aquí se obtiene cos a cos b = 1/2 [cos(a-b) + cos(a+b)]. Esta relación de linealización está omnipresente en cálculo integral y en procesamiento de señales.
Al restar esta vez cos(a+b) de cos(a-b), aislamos el producto de los senos:
sin a sin b = 1/2 [cos(a-b) – cos(a+b)].
Para el producto cruzado, procedemos de la misma manera con sin(a+b) y sin(a-b):
sin a cos b = 1/2 [sin(a+b) + sin(a-b)].
Estas tres identidades forman el trío de las fórmulas producto-suma. Su utilidad supera con creces el programa de terminal: intervienen cada vez que un producto trigonométrico debe ser integrado o simplificado en una serie de Fourier.
Por qué la linealización es más útil que la duplicación
Las fórmulas de duplicación (cos 2a, sin 2a) son solo un caso particular donde b = a. Recomendamos no memorizarlas por separado. Plantear b = a en cos(a+b) da inmediatamente cos(2a) = cos²a – sin²a, luego las variantes 2cos²a – 1 y 1 – 2sin²a a través de la identidad fundamental cos²a + sin²a = 1.
La linealización, en cambio, no se encuentra tan naturalmente si solo se conoce la duplicación. Por lo tanto, es mejor anclar las fórmulas de adición y de producto-suma, y tratar la duplicación como un corolario.
Ángulos notables y verificación rápida de las fórmulas trigonométricas
Las pruebas recientes del bachillerato y del certificado movilizan los valores notables (0, pi/6, pi/4, pi/3, pi/2) en relación directa con las fórmulas de adición. Verificar una fórmula sobre un par de ángulos conocidos es el medio más rápido de detectar un error de signo.
Tomemos cos(pi/3 + pi/6). La fórmula da:
cos(pi/3)cos(pi/6) – sin(pi/3)sin(pi/6) = (1/2)(raíz de 3 / 2) – (raíz de 3 / 2)(1/2) = 0.
El resultado esperado es cos(pi/2) = 0. La coherencia es inmediata. Si el signo se hubiera invertido, habríamos obtenido raíz de 3 / 2, lo que habría señalado el error.
A continuación, las verificaciones más útiles para cada fórmula:
- cos(a+b) con a = b = pi/4: debe dar cos(pi/2) = 0, es decir, cos²(pi/4) – sin²(pi/4) = 1/2 – 1/2 = 0.
- sin(a+b) con a = pi/6, b = pi/3: debe dar sin(pi/2) = 1, es decir, (1/2)(1/2) + (raíz de 3 / 2)(raíz de 3 / 2) = 1/4 + 3/4 = 1.
- sin a sin b con a = b = pi/4: debe dar 1/2, es decir, 1/2 [cos(0) – cos(pi/2)] = 1/2 [1 – 0] = 1/2.
Probar una fórmula sobre ángulos notables toma menos de treinta segundos y elimina la mayoría de los errores de signo en el examen.
Estrategia de memorización para el bachillerato: dos fórmulas, no doce
Lo afirmamos sin reservas: recordar cos(a+b) y sin(a+b) es suficiente para reconstruir todas las demás identidades. La sustitución b por -b da las fórmulas sustitutivas. La suma y la diferencia de las fórmulas de adición dan las producto-suma. El caso b = a da la duplicación. El caso b = pi/2 da las fórmulas de cofunción.
El error frecuente consiste en memorizar cada variante de forma independiente, lo que produce confusiones de signo bajo presión. Es mejor automatizar la derivación que almacenar una decena de fórmulas frágiles.
- Fórmula fuente 1: cos(a+b) = cos a cos b – sin a sin b (recordar el signo menos).
- Fórmula fuente 2: sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b (recordar el signo más y la alternancia sin/cos).
- Fórmulas derivadas: obtenidas por sustitución, adición o sustracción de las dos fórmulas fuentes.
En el intervalo [0, pi] solicitado en el programa de primero, las funciones sin y cos toman valores suficientemente variados para que la verificación por ángulos notables siga siendo siempre posible. Dos fórmulas memorizadas, un método de derivación dominado: es la relación esfuerzo/resultado más favorable en trigonometría.