Les formules d’addition de cos(a+b) et sin(a+b) reposent sur un mécanisme algébrique unique : la distributivité appliquée aux exponentielles complexes. Nous partons de l’identité d’Euler, et tout le reste en découle par addition ou soustraction de deux égalités. Maîtriser ce mécanisme rend inutile l’apprentissage par coeur de la dizaine de variantes que les manuels empilent.
Dérivation par exponentielle complexe des formules cos a cos b et sin a sin b
La voie la plus directe pour retrouver les formules d’addition passe par l’écriture exponentielle. Sachant que ei(a+b) = eia . eib, on développe le produit des deux facteurs :
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(cos a + i sin a)(cos b + i sin b) = cos a cos b – sin a sin b + i(sin a cos b + cos a sin b).
La partie réelle donne directement cos(a+b) = cos a cos b – sin a sin b. La partie imaginaire fournit sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b. Aucune figure, aucun raisonnement géométrique auxiliaire n’est nécessaire.
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Pour qui prépare le bac ou une épreuve de première, retenir cette seule démarche permet de retrouver en quelques lignes les formules de cos a cos b et sin a sin b sans dépendre d’un formulaire.
Formules de soustraction cos(a-b) et sin(a-b) : substitution de signe
La parité du cosinus (cos(-x) = cos x) et l’imparité du sinus (sin(-x) = -sin x) suffisent à déduire les formules soustractives. Nous remplaçons b par -b dans les expressions précédentes.
cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b. Le signe entre les deux termes s’inverse par rapport à cos(a+b). Symétriquement, sin(a-b) = sin a cos b – sin b cos a.
Ce changement de signe est la seule différence. Un bon réflexe consiste à se souvenir que le cosinus « aime » les produits croisés de même nature (cos.cos et sin.sin), tandis que le sinus mélange les deux fonctions (sin.cos et cos.sin).
Transformation produit-somme : isoler cos a cos b et sin a sin b
Les formules d’addition servent aussi en sens inverse. En additionnant cos(a+b) et cos(a-b), on élimine le terme en sinus :
cos(a+b) + cos(a-b) = 2 cos a cos b.
On en tire cos a cos b = 1/2 [cos(a-b) + cos(a+b)]. Cette relation de linéarisation est omniprésente en calcul intégral et en traitement du signal.
En soustrayant cette fois cos(a+b) de cos(a-b), on isole le produit des sinus :
sin a sin b = 1/2 [cos(a-b) – cos(a+b)].
Pour le produit croisé, on procède de la même façon avec sin(a+b) et sin(a-b) :
sin a cos b = 1/2 [sin(a+b) + sin(a-b)].
Ces trois identités forment le trio des formules produit-somme. Leur utilité dépasse largement le programme de terminale : elles interviennent dès qu’un produit trigonométrique doit être intégré ou simplifié en série de Fourier.
Pourquoi la linéarisation est plus utile que la duplication
Les formules de duplication (cos 2a, sin 2a) ne sont qu’un cas particulier où b = a. Nous recommandons de ne pas les mémoriser séparément. Poser b = a dans cos(a+b) donne immédiatement cos(2a) = cos²a – sin²a, puis les variantes 2cos²a – 1 et 1 – 2sin²a via l’identité fondamentale cos²a + sin²a = 1.
La linéarisation, en revanche, ne se retrouve pas aussi naturellement si on ne connaît que la duplication. Mieux vaut donc ancrer les formules d’addition et de produit-somme, et traiter la duplication comme un corollaire.
Angles remarquables et vérification rapide des formules trigonométriques
Les épreuves récentes du bac et du brevet mobilisent les valeurs remarquables (0, pi/6, pi/4, pi/3, pi/2) en lien direct avec les formules d’addition. Vérifier une formule sur un couple d’angles connus est le moyen le plus rapide de détecter une erreur de signe.
Prenons cos(pi/3 + pi/6). La formule donne :
cos(pi/3)cos(pi/6) – sin(pi/3)sin(pi/6) = (1/2)(racine de 3 / 2) – (racine de 3 / 2)(1/2) = 0.
Le résultat attendu est cos(pi/2) = 0. La cohérence est immédiate. Si le signe avait été inversé, on aurait obtenu racine de 3 / 2, ce qui aurait signalé l’erreur.
Voici les vérifications les plus utiles pour chaque formule :
- cos(a+b) avec a = b = pi/4 : doit donner cos(pi/2) = 0, soit cos²(pi/4) – sin²(pi/4) = 1/2 – 1/2 = 0.
- sin(a+b) avec a = pi/6, b = pi/3 : doit donner sin(pi/2) = 1, soit (1/2)(1/2) + (racine de 3 / 2)(racine de 3 / 2) = 1/4 + 3/4 = 1.
- sin a sin b avec a = b = pi/4 : doit donner 1/2, soit 1/2 [cos(0) – cos(pi/2)] = 1/2 [1 – 0] = 1/2.
Tester une formule sur des angles remarquables prend moins de trente secondes et élimine la majorité des erreurs de signe en examen.
Stratégie de mémorisation pour le bac : deux formules, pas douze
Nous l’affirmons sans réserve : retenir cos(a+b) et sin(a+b) suffit pour reconstruire toutes les autres identités. La substitution b par -b donne les formules soustractives. La somme et la différence des formules d’addition donnent les produit-somme. Le cas b = a donne la duplication. Le cas b = pi/2 donne les formules de cofonction.
L’erreur fréquente consiste à mémoriser chaque variante indépendamment, ce qui produit des confusions de signe sous pression. Mieux vaut automatiser la dérivation que stocker une dizaine de formules fragiles.
- Formule source 1 : cos(a+b) = cos a cos b – sin a sin b (retenir le signe moins).
- Formule source 2 : sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b (retenir le signe plus et l’alternance sin/cos).
- Formules dérivées : obtenues par substitution, addition ou soustraction des deux formules sources.
Sur l’intervalle [0, pi] demandé au programme de première, les fonctions sin et cos prennent des valeurs suffisamment variées pour que la vérification par angles remarquables reste toujours possible. Deux formules mémorisées, une méthode de dérivation maîtrisée : c’est le ratio effort/résultat le plus favorable en trigonométrie.