Die Additionformeln für cos(a+b) und sin(a+b) beruhen auf einem einzigartigen algebraischen Mechanismus: der Distributivität, die auf komplexe Exponentialfunktionen angewendet wird. Wir beginnen mit der Eulerschen Identität, und alles Weitere ergibt sich durch Addition oder Subtraktion von zwei Gleichungen. Dieses Mechanismus zu beherrschen, macht das Auswendiglernen der zahlreichen Varianten, die in den Lehrbüchern aufgetürmt werden, überflüssig.
Ableitung durch komplexe Exponentialfunktion der Formeln cos a cos b und sin a sin b
Der direkteste Weg, die Additionformeln zu finden, führt über die exponentielle Schreibweise. Da ei(a+b) = eia . eib, entwickeln wir das Produkt der beiden Faktoren:
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(cos a + i sin a)(cos b + i sin b) = cos a cos b – sin a sin b + i(sin a cos b + cos a sin b).
Der Realteil liefert direkt cos(a+b) = cos a cos b – sin a sin b. Der Imaginärteil ergibt sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b. Es sind keine Figuren oder geometrischen Überlegungen erforderlich.
Für diejenigen, die das Abitur oder eine Prüfung in der ersten Klasse vorbereiten, ermöglicht das Behalten dieses einzigen Verfahrens, die Formeln für cos a cos b und sin a sin b in wenigen Zeilen zu finden, ohne von einem Formular abhängig zu sein.
Subtraktionsformeln cos(a-b) und sin(a-b): Vorzeichenersetzung
Die Parität des Kosinus (cos(-x) = cos x) und die Unparität des Sinus (sin(-x) = -sin x) reichen aus, um die subtraktiven Formeln abzuleiten. Wir ersetzen b durch -b in den vorherigen Ausdrücken.
cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b. Das Vorzeichen zwischen den beiden Termen kehrt sich im Vergleich zu cos(a+b) um. Symmetrisch ergibt sich sin(a-b) = sin a cos b – sin b cos a.
Diese Vorzeichenänderung ist der einzige Unterschied. Ein guter Reflex besteht darin, sich daran zu erinnern, dass der Kosinus “gerne” gekreuzte Produkte gleicher Art (cos.cos und sin.sin) hat, während der Sinus die beiden Funktionen mischt (sin.cos und cos.sin).
Produkt-Summen-Transformation: cos a cos b und sin a sin b isolieren
Die Additionformeln dienen auch in umgekehrter Richtung. Durch Addition von cos(a+b) und cos(a-b) eliminieren wir den Sinusterm:
cos(a+b) + cos(a-b) = 2 cos a cos b.
Wir erhalten cos a cos b = 1/2 [cos(a-b) + cos(a+b)]. Diese Linearitätsbeziehung ist allgegenwärtig in der Integralrechnung und Signalverarbeitung.
Durch Subtraktion von cos(a+b) von cos(a-b) isolieren wir das Produkt der Sinusfunktionen:
sin a sin b = 1/2 [cos(a-b) – cos(a+b)].
Für das gekreuzte Produkt verfahren wir auf die gleiche Weise mit sin(a+b) und sin(a-b):
sin a cos b = 1/2 [sin(a+b) + sin(a-b)].
Diese drei Identitäten bilden das Trio der Produkt-Summen-Formeln. Ihr Nutzen geht weit über das Programm der Oberstufe hinaus: Sie kommen immer dann zum Einsatz, wenn ein trigonometrisches Produkt integriert oder in eine Fourierreihe vereinfacht werden muss.
Warum die Linearisation nützlicher ist als die Verdopplung
Die Verdopplungsformeln (cos 2a, sin 2a) sind nur ein Sonderfall, bei dem b = a ist. Wir empfehlen, sie nicht separat auswendig zu lernen. Setzt man b = a in cos(a+b), erhält man sofort cos(2a) = cos²a – sin²a, dann die Varianten 2cos²a – 1 und 1 – 2sin²a über die grundlegende Identität cos²a + sin²a = 1.
Die Linearisation hingegen findet sich nicht so natürlich, wenn man nur die Verdopplung kennt. Es ist daher besser, die Addition- und Produkt-Summen-Formeln zu verankern und die Verdopplung als Korollar zu behandeln.
Bemerkenswerte Winkel und schnelle Überprüfung der trigonometrischen Formeln
Die aktuellen Prüfungen für das Abitur und das Brevet nutzen die bemerkenswerten Werte (0, pi/6, pi/4, pi/3, pi/2) in direktem Zusammenhang mit den Additionformeln. Eine Formel an einem Paar bekannter Winkel zu überprüfen, ist der schnellste Weg, einen Vorzeichenfehler zu erkennen.
Nehmen wir cos(pi/3 + pi/6). Die Formel ergibt:
cos(pi/3)cos(pi/6) – sin(pi/3)sin(pi/6) = (1/2)(Wurzel aus 3 / 2) – (Wurzel aus 3 / 2)(1/2) = 0.
Das erwartete Ergebnis ist cos(pi/2) = 0. Die Konsistenz ist sofort erkennbar. Hätte sich das Vorzeichen umgekehrt, hätten wir Wurzel aus 3 / 2 erhalten, was den Fehler signalisiert hätte.
Hier sind die nützlichsten Überprüfungen für jede Formel:
- cos(a+b) mit a = b = pi/4: muss cos(pi/2) = 0 ergeben, also cos²(pi/4) – sin²(pi/4) = 1/2 – 1/2 = 0.
- sin(a+b) mit a = pi/6, b = pi/3: muss sin(pi/2) = 1 ergeben, also (1/2)(1/2) + (Wurzel aus 3 / 2)(Wurzel aus 3 / 2) = 1/4 + 3/4 = 1.
- sin a sin b mit a = b = pi/4: muss 1/2 ergeben, also 1/2 [cos(0) – cos(pi/2)] = 1/2 [1 – 0] = 1/2.
Eine Formel an bemerkenswerten Winkeln zu testen, dauert weniger als dreißig Sekunden und beseitigt die Mehrheit der Vorzeichenfehler in Prüfungen.
Memorisierungsstrategie für das Abitur: zwei Formeln, nicht zwölf
Wir behaupten ohne Vorbehalt: das Behalten von cos(a+b) und sin(a+b) reicht aus, um alle anderen Identitäten zu rekonstruieren. Die Substitution von b durch -b ergibt die subtraktiven Formeln. Die Summe und die Differenz der Additionformeln ergeben die Produkt-Summen. Der Fall b = a ergibt die Verdopplung. Der Fall b = pi/2 ergibt die Ko-Funktionsformeln.
Der häufige Fehler besteht darin, jede Variante unabhängig auswendig zu lernen, was unter Druck zu Verwirrungen bei den Vorzeichen führt. Es ist besser, die Ableitung zu automatisieren, als ein Dutzend fragiler Formeln zu speichern.
- Quellformel 1: cos(a+b) = cos a cos b – sin a sin b (das Minuszeichen merken).
- Quellformel 2: sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b (das Pluszeichen und die Abwechslung sin/cos merken).
- Abgeleitete Formeln: erhalten durch Substitution, Addition oder Subtraktion der beiden Quellformeln.
Im Intervall [0, pi], das im Programm der ersten Klasse gefordert ist, nehmen die Funktionen sin und cos ausreichend variierte Werte an, sodass die Überprüfung durch bemerkenswerte Winkel immer möglich bleibt. Zwei gemerkte Formeln, eine beherrschte Ableitungsmethode: das ist das günstigste Verhältnis von Aufwand zu Ergebnis in der Trigonometrie.